sin(666) = sin(-54) = -cos(36)
נסתכל על מחומש משוכלל עם אלכסוניו ( המספרים הם זויות במעלות )
המשולשים ABC ABD דומים שווי שוקיים וזוית הראש 36 מעלות
לכן AC/AB = AB/BD
BD=EC
AB=AD=AE
AC=AE+EC
נסמן a=AE EC=b
ונקבל
zzz (a+b)/a = a/b zzz
זוהי משוואה ריבועית שפתרונה a/b נותן את
יחס הזהב כלומר
zzz a/b = (sqrt(5) +1 ) /2 zzz
zzz
sin(666) = -cos(36) = -AF/AD = -(AC/2) / AD = -a/2b =
-(sqrt(5) +1 ) /4 = -0.80901699437494742410229341718282... zzz
( את שורש 5 חישבתי עם מחשבון ... )